Содержание к диссертации
Введение
ГЛАВА I 1. ИНФОРМАТИКА И ВЫЧИСЛИТЕЛЬНАЯ МАТЕМАТИКА
1.1. Решение численной задачи 9
1. 2. Новые информационные технологии и школьное образование 19
2. МЕТОДИЧЕСКОЕ ОБОСНОВАНИЕ ПЕРЕХОДА К ИНТЕРВАЛЬНОМУ ВАРИАНТУ КУРСА "ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ"
2.1 Краткий обзор теории интервалов 22
2. 2. Пути внедрения теории интервалов в учебный процесс 24
2.3. Программа курса "Интервальный вариант численных методов" 31
ГЛАВА II ИНТЕРВАЛЬНЫЙ ВАРИАНТ ЧИСЛЕННЫХ МЕТОДОВ
1 Интервальная арифметика
1.1. Интервальные числа 35
1. 2. Интервальные арифметические операции 36
1. 3. Свойства интервальной арифметики 38
1. 4. Монотонность интервальных рациональных выражений.
Интервальное расширение 41
2 . Элементы теории погрешностей
2. 1. Интервальные погрешности результатов арифметических операций 45
2. 2. Сравнение классических и интервальных погрешностей
арифметических операций 47
2. 3. Интервальные погрешности значений элементарных
функций 49
2. 4. Выводы 50
3 Метрическое интервальное пространство
3. 1. Принятые обозначения 51
3. 2. Введение метрики. Необходимые леммы 52
4. Решение алгебраических уравнений
4. 1. Постановка задачи 56
4. 2. Методы деления 61
4. 3. Интервальный вариант метода Ньютона 62
4. 4. Основные леммы и теоремы о сходимости метода 65
5 Решение систем линейных алгебраических уравнений
5. 1. Постановка задачи 68
5. 2. Интервальный аналог метода Крамера 74
5. 3. Матричный метод решения систем. Обращение интер
вальных матриц 76
5. 4. Метод Гаусса 78
5. 5. Пример К Райхмана 81
5. 6. О методах, заведомо порождающих оптимальное интер
вальное решение 84
5. 7. Метод простой итерации 86
5. 8. Способ коррекции границ нулевого приближения 87
ГЛАВА III ОРГАНИЗАЦИЯ, ПЮВЕДЕНИЕ И РЕЗУЛЬТАТЫ ПЕДАГОГИЧЕСКОГО ЭКСПЕРИМЕНТА
1. Констатирующий эксперимент 91
1. Поисковый эксперимент 94
1. Формирующий эксперимент. Анализ результатов 97
ЗАКЛЮЧЕНИЕ 111
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 113
Введение к работе
Многие математические модели приводят к необходимости решать те или иные задачи с приближенными значениями исходных величин. В практических задачах редко приходится иметь дело с точными числами. Обычно исходные данные являются результатами измерений, а значит сопровождаются погрешностями, влияющими на точность и возрастающими с увеличением объема вычислений. Поэтому оценка погрешности состоит в поиске промежутка, заключающего искомый результат, причем этот промежуток должен учитывать все виды возникающих погрешностей.
Основным требованием к оценкам погрешностей является требование их достоверности, состоящее в запрете как их занижения, так и чрезмерного завышения. Действительно, указывая, что погрешность величины х ограничена числом Д х, мы гарантируем, что в любом случае приближенное значение этой величины находится в интервале [ х- Д х; х+ Д х] и ни при каких условиях не может выйти за пределы этого интервала. Выполняя над приближенными числами какие-либо операции, по существу работают с отрезками, содержащими эти числа. При этом возникает задача определить операции над отрезками надлежащим образом.
Выход из этой ситуации может быть найден при использовании методов интервального анализа - теории, которая в последние десятилетия приобретает все большую популярность. В отличие от традиционных, интервальные методы позволяют получать решения задач вместе с полным и строгим учетом ошибок вычислений.
Возникает противоречие между необходимостью включить в учебные программы педагогических вузов вопросы, построенные на
6 основе новых достижений науки и отсутствием методики их изучения. Проблема исследования состоит в поиске возможных путей усовершенствования предметной подготовки студентов.
В современной профессионально-педагогической подготовке учителей информатики приоритет отдается теоретической и технологической сторонам, на которые опирается прикладная. В соответствии с мнением В.В.Лаптева и М.В.Швецкого, к перспективным направлениям развития теоретической информатики можно отнести вычислительную математику, компьютерную алгебру, математическое моделирование и основы вычислительного эксперимента [72].
При проектировании учебной дисциплины необходима ориентация на соответствующую область научных знаний. Настоящая работа посвящена разработке и применению интервального варианта методов вычислений. Объектом нашего исследования является раздел численные методы решения прикладных задач в курсе информатики педагогических вузов. Предмет исследования составляют содержание этого раздела, ориентированное на исследование интервальных оценок погрешности вычислений, методы и формы обучения модифицированным численным методам.
Выбор темы исследования обусловлен рядом причин. Описанные выше обстоятельства делают естественным требование, состоящее в том, что исходя из достижений современной науки, школьный учитель должен владеть методикой интервальных вычислений. Сам по себе аппарат интервальной математики представляет интерес, так как дает достаточно строгие оценки результатов решения большинства прикладных задач. И, наконец, третья причина, состоит в том, что студенты физико-математических специальностей должны быть ознакомлены с современными подходами к анализу точности вычислений.
В связи с этим, нашей основной задачей явилась переработка содержания курса численных методов, заключающаяся в замене классических оценок погрешностей на интервальные, которые выгодно отличаются удовлетворением требования достоверности, относительной простотой вычислений и легко реализуются на персональных компьютерах.
Актуальность исследования мы видим в следующих аспектах. Во - первых, требуется пересмотр содержания и методики изложения курса численных методов, с учетом развития и достижений науки. Во - вторых, необходимо добиться, чтобы будущие учителя, оказавшись в системе школьного образования легче воспринимали различные тенденции в развитии информационных наук. В-третьих, интеграция России в мировую образовательно-информационную среду, обуславливает необходимость владения интервальной техникой научного расчета, так как на международном рынке алгоритмов и программ ей оказывается значительное внимание [81].
Учитывая актуальность и специфику исследуемой темы, основной целью настоящей работы является разработка методики решения прикладных задач в интервальном варианте, получение оценки погрешности результатов, научное обоснование и реализация использования модифицированного метода в разделе методы вычислений в курсе информатики педагогического вуза.
Тема в науке разработана слабо, публикаций мало. Разработка темы поможет накопить положительный опыт как в теории интервальных вычислений, так и по ряду теоретических и прикладных вопросов обучения информатике, что определяет научную новизну исследования.
В исследовании впервые представлена возможность использования интервальных методов вычислений при обучении информатике в педагогических вузах.
Практическая значимость работы заключается в разработке содержания усовершенствованного варианта курса численных методов и методических рекомендаций по его использованию.
Этапы исследования.
Диагностический этап: выявление проблемы и обоснование ее актуальности (анализ состояния обучения, выявление противоречий, нуждающихся в ликвидации с помощью изменений, анализ литературы).
Прогностический этап: разработка программы исследования (постановка цели, формулирование гипотезы, прогнозирование результатов, отбор содержания курса).
Практический этап: проведение педагогического эксперимента (реализация разработанной программы, получение результатов, корректировка используемых методов и содержания курса).
4. Обобщающий этап: обработка полученных результатов (соотнесение результатов с поставленными целями, анализ результатов, оформление и описание исследования).
Диссертационная работа выполнена в рамках научно-исследовательской программы "Интегративная открытая развивающая система непрерывного педагогического образования" ( руководитель-действительный член РАО, профессор Г.А.Бордовский) по направлению - "Информационные технологии обучения" (руководитель- профессор В.А. Извозчиков), связанному с разработкой проектов инвариантов обучения студентов и школьников в области информационных технологий.
Решение численной задачи
Разнообразие прикладных задач, требующих своего решения в различных сферах науки и техники, предполагает в каждом из конкретных случаев свой подход, выбор численного метода, допустимую оценку погрешности. В зависимости от методики, используемой при решении поставленной задачи принимаются во внимание свойства изучаемого объекта, его численные параметры, объем операций, на основе которых осуществляется дальнейший выбор способа решения.
Решением численных задач занимаются как информатика, так и вычислительная математика. В настоящее время существуют различные подходы к определению понятий "информатика" и "вычислительная математика". Сравним их сущность, выделив общие и различные черты, по отношению к вопросу решения численной задачи.
Рассмотрим определения, вводимые в литературе.
В работах, посвященных исследованию понятия "информатика", по-разному анализируется его происхождение и развитие. Еще в 60-е годы этот термин использовался для обозначения дисциплины, связанной с технологией накопления научно-технической и другой информации на основе печатных источников и документов [112]. Это словоупотребление сменилось на сейчас уже общепринятое значение, связанное с информационными процессами, реализуемыми с помощью ЭВМ. Синоним термина "информатика" на английском языке "computer science", в переводе "вычислительная наука", т. е. наука о преобразовании информации, в самом своем существе, базирующаяся на вычислительной технике.
Теоретическая информатика - один из разделов информатики. Она использует методы математики для построения и изучения моделей обработки, передачи и использования информации, создает тот теоретический фундамент, на котором строится все здание информатики.
По своей природе информация тяготеет к дискретному представлению. Множество информационных сообщений можно описывать в виде дискретного множества. Значит по своему характеру теоретическая информатика опирается на дискретную математику, изучающую объекты именно такого типа, Поэтому многие модели информатики заимствованы из дискретной математики. Но, эти модели наполнены конкретным содержанием, связанным со спецификой информации того объекта, который интересует специалистов.
Основные характеристики физических объектов выражают числами, а физические закономерности - соотношениями, символы которых имеют числовой смысл. Среди характеристик информационных объектов появляются понятия "отношение", "связь", "структура". Объекты информатики удобно рассматривать как комбинации абстрактных символов, с которыми производятся механические манипуляции, подобно операциям арифметики в вычислительной математике.
Интервальная арифметика
Постановка задачи. Решение, интервальное решение, оптимальное интервальное решение системы.
2. Интервальный аналог метода Крамера.
3. Матричный метод решения систем.
4. Метод Гаусса. Пример К. Райхмана.
5. Метод простой итерации. Способ коррекции границ нулевого приближения.
Дадим некоторые методические рекомендации по использованию предложенной программы.
Раздел "Интервальная арифметика" включает основные понятия интервального анализа. Здесь дается определение интервального числа, вводятся интервальные операции над отрезками, разбираются их свойства, приводятся примеры. Основная теорема интервальной математики и интервальные расширения находят широкое применение непосредственно в численных методах, в частности вопросах решения уравнений и систем уравнений. Таким образом, данный раздел представляет собой основу для изучения последующих тем. Следовательно все вводимые понятия, определения и свойства обязательны для рассмотрения.
Второй раздел "Элементы теории погрешностей" содержит вопросы, связанные с погрешностями результатов арифметических операций и погрешностями значений элементарных функций. Вводятся понятия приближенного значения интервального числа и функции на отрезке, погрешностей этих приближений, интервальных погрешностей суммы, разности, умножения и деления. Основная цель темы — продемонстрировать преимущества интервальной методики, путем сравнения классических и интервальных погрешностей арифметических операций и функций. Несложные вычисления, которые студенты могут провести самостоятельно, приводят к выводу о том, что в большинстве случаев обычно применяемые оценки погрешностей дают заниженные результаты. Исключение составляют сложение и вычитание, а среди элементарных функций — функции y=sin х и y=cos х. Отсюда следует, что в классической методике вычислений не всегда соблюдается основной принцип теории погрешностей. Материал доступный и наглядный для изучения, кроме того, прост с точки зрения вычислений. Более подробное изложение дается в работе [66].
Третий раздел может быть изучен по желанию. Он достаточно интересен, так как в нем даются геометрические интерпретации некоторых интервальных понятий. "Решение алгебраических уравнений" посвящено выделению подынтервалов, содержащих вещественные корни уравнений, и рассмотрению некоторых способов решения уравнений. Наиболее достоин рассмотрения интервальный вариант метода Ньютона. Методы деления могут быть предложены студентам для самостоятельного изучения.
В последнем разделе "Решение систем линейных алгебраических уравнений" вводятся понятия решения, интервального решения, оптимального интервального решения, дается их сравнительная геометрическая иллюстрация. Построение метода Крамера основано на интервальном расширении. Метод Гаусса содержит большое число формул, в этом проявляется сложность его реализации. Кроме того, существуют ограничения на системы уравнений, к которым метод Гаусса применим, это демонстрирует пример Райхмана. Наиболее удачен для изучения метод простой итерации, так как дает более точное решение, учитывающее все виды возникающих погрешностей. Для самостоятельного рассмотрения студентам можно предложить матричный метод решения систем.
По окончании изучения теоретического материала каждого из разделов, проводится практикум по решению задач. Доказательство лемм и теорем о сходимости методов в разделах IV и V, по усмотрению преподавателя, может проводиться произвольно, в зависимости от уровня обучаемости студентов.
Все численные методы легко поддаются программированию, что позволяет получать решение наиболее громоздких и объемных задач легко и эффективно по затраченному времени и усилиям.
Констатирующий эксперимент
Констатирующий эксперимент проводился в 1992 — 1994 годах. В нем принимали участие студенты физико-математического факультета Вологодского Государственного Педагогического Университета.
Основу данного этапа составляла проблема поиска путей повышения развивающей функции обучения информатике и численным методам, в частности, которая в свою очередь представляла проникновение новых достижений науки в учебные программы педвузов. Задача констатирующего эксперимента заключалась в анализе состояния обучения, а именно:
— Определить характер и уровень подготовки студентов (профессиональный и образовательный эффект существующего материала и методики его изучения).
— Установить связь между вузовским и школьным курсом и возможность использования студентами полученных знаний в дальнейшей деятельности.
— Определить межпредметные связи численных методов с
другими дисциплинами.
В ходе исследования были использованы следующие методы.
1. Анкетирование, наблюдение, беседы с преподавателями и
студентами, анализ результатов экзаменов и зачетов.
2. Изучение и анализ методической, педагогической, научной литературы.
3. Анализ учебной литературы и учебных программ по исследуемой теме, с целью выявления состояния и определения путей решения поставленных задач.
Приведем фрагменты анкет, применяемых в ходе констатирующего этапа эксперимента. Анкета для преподавателей 1.
— С какими учебными предметами, на Ваш взгляд, связан Ваш предмет.
— Ощущаете ли потребность обращаться к материалу смежного предмета (какого).
— Какие цели преследуете, применяя межпредметные связи:
развитие мышления; получение прочных, осознанных знаний;
формирование мировозрения; формирование интереса; умение применить полученные знания в прикладных задачах; другие варианты.
— Какие формы межпредметных связей практикуете.
— Какие источники помогают в осуществлении межпредметных связей.
— Какие трудности в применении межпредметных связей.
Анкета для преподавателей 2.
— Какой методикой Вы пользуетесь при обучении предмету.
— Какие последние достижения науки были включены в содержание Ваших лекций и тексты задач.
— Литературу каких авторов и лет изданий Вы рекомендуете студентам.
— Используете ли Вы (может быть на спецкурсах) выступления студентов в качестве докладчиков по тем или иным изучаемым темам.
— Проводите ли открытые диспуты (или информационные
занятия), на которых обсуждаются новые достижения науки или
рекомендуется научно-публицистическая литература.
Анкета для студентов.
— Какие из разделов курса "Численные методы" Вы считаете необходимыми, полезными, интересными.
— Что из изучаемого может помочь Вам в дальнейшей профессиональной деятельности.
— Что из изучаемого помогает Вам при изучении других предметов (каких).
— Что Вы ожидаете от изучения.
— Занимаетесь ли Вы на спецкурсе (или занимались ли, если бы
он был) по данной дисциплине. Во время занятий, зачетов и экзаменов проводилось наблюдение с целью выявления причин трудности усвоения материала и проявления интереса у студентов к изучаемому предмету.
Трудности, наиболее выделяемые студентами, можно определить как:
— неумение применить теоретические знания при решении
прикладных задач;
— вычислительные проблемы (громоздкость вычислений,
получение результатов с большой погрешностью);
— не видят возможность (или не умеют) часть вычислений
переложить на "плечи" вычислительной техники.
Анализ анкет, проведенных среди преподавателей и студентов, результаты наблюдений на лекциях, практических занятиях, экзаменах и зачетах, позволили сделать следующие выводы.
1. Установлено отставание содержания курса от достижений современной науки.
2. Выявлено понижение интереса у студентов к изучению численных методов в связи с отрывом от других дисциплин.
3. Предложены пути формирования и развития как содержания курса (или некоторых разделов), так и методики обучения численным методам.
