Содержание к диссертации
РОЛЬ И МЕСТО ГРАФОВ В ОБУЧЭИШ МАТЕМАТИКЕ ... 6
Особенности языка теории графов и возможности его использования как методического средства обучения математике 6
Некоторые особенности теории графов как раздела математики 6
Особенности языка графов, обеспечивающие до ступность его для учащихся и возможность
использования в школе 11
Графа как средство наглядности при обучении математике 18
Графы как средство углубления и обогащения содержания школьной математики ........ 26
О возможностях углубления содержания школьного нурса математики в связи с использованием языка графов 27
О возможностях обогащения содержания школьного курса математики в связи с использованием языка графов 28
Графи как средство развития прикладного направления среднего математического образования 32
Об актуальности и специфике проблемы прикладной ориентации среднего математического образования 32
Об испожьзовании графов на трех этапах процесса применения математики 36
О возможностях и путях введения в курс матема тики нового прикладного содержания, связанного с использованием языка графов 39
Возможности использования графов для усиления взаимосвязей учебных дисциплин 44
Стр. Глава П. ВНЗДРЕНИЕ ЭЛЕМЕНТОВ ТЕОРИИ ГРАФОВ В ОБУЧЕНИЕ
МАТЕМАТИКЕ 57
§ I. О внедрении графов в основной курс математики , 57
1. О содержательно-методической линии графов в курсе математики 57
2. Примеры использования рисунков графов в новых школьных учебниках и пособиях 61
3, Другие возможности использования графов как у; средства наглядности в курсе математики средней школы 67
§ 2, Факультативное обучение элементам теории графов и ее приложениям ............... ,86
I. О характере и целях факультативного курса "Графы и их применения" ...... 86
2 0 содержании и структуре курса ........ .89
3 Методические особенности курса ......... 99
§ 3 Экспериментальное обучение элементам теории графов ........... 113
ЗАКЛШЕНИЕ ...... .127
Литература .......... .132
Приложение I.
Приложение П.
Приложение Ш.
Введение к работе
Перестройка среднего математического образования вызвана не только существенным ростом требований, предъявляемых к школьной математике со стороны науки и практики, но и переходом к всеобщему среднему образованию, осуществяяемому на основе решений ХХ1У съезда КПСС. Уровень современной науки и техники, научная организация народно-хозяйственной деятельности требуют от работников практически любой отрасли умения использовать методи математики.
Завершается переход на новые программы по математике, обогатилось содержание общего математического образования, повысился его теоретический уровень. Однако, какими бы достоинствами новое содержание и методика обучения ни обладали, научно-технический прогресс требует дальнейшего их совершенствования. Б работах советских ученых - педагогов и математиков - уже намечены его основные задачи. Среди них можно назвать такие, как идейное обогащение и углубление содержания школьной математики, использование ведущих и обобщающих идей и методов, уточнение и обогащение языка школьной математики, развитие ее прикладной направленности, укрепление связей с другими предметами. Наряду с этим, переход к всеобщему среднему образованию требует, чтобы школьная математика при веем ее научном перевооружении была общедоступна.
Естественно, что к отбору содержания учебного материала предъявляются серьезные требования не только с точки зрения соответствия современности. Ноше понятия, методы могут быть введены в школьное образование только тогда, когда они позволяют учащимся увидеть известное и существенно важное в новом, более ярком и правильном освещении, или когда они приобрели общепризнанное положение в науке, производстве, быту, культуре, общественной жизни, то есть удовлетворяют критерию многократной применимости в современной практике. Выбор этого нритерия основан на том,что "познание предполагает использование полученных знаний, то есть применение их на практике, понимаемой широко - как совокупность научной и производственно-технической деятельности человечества" /176/.
Определенную роль в решении перечисленных выше задач может сыграть введение в школьное математическое образование элементов теории графов. Теория графов развивается как самостоятельный раздел математики со своим языком и методами, но в силу общности понятия "граф" и особенностей языка часто выступает в роли "разнорабочего", помогая решать принладше задачи. Язык графов может помочь сделать изложение ряда дисциплин более наглядным, доступным, упростить расчеты. Применение методов теории графов часто позволяет снизить трудоемкость исследования, повышает производительность научной и инженерно-конструкторской мысли.
Тан, язык теории графов и связанные с ней методы исследования уже сейчас продуктивно используются в экономике, теории планирования и управления, в исследовании операций, в линейном и динамическом программировании, в теории игр, в электротехнике, в электронике, в математической лингвистике, в социологических исследованиях, в химии, в современной биологии и медицине. Язык теории графов обслуживает и такие отрасли математики, как теория множеств, топология, комбинаторика, теория информации, теория вероятностей, теория групп, линейная алгебра, теория структур, теория конечных автоматов. По словам такого авторитетного специалиста в области теории графов, как А.А.Зыков, "Сейчас количество важных практических и теоретических задач самого разнообразного конкретного содержания и самой различной степени сложности,сводящихся н задачам и проблемам чистой теории графов, растет столь быстро, что для решения их "в розницу" кустарными методами или остроумными индивидуальными приемами не хватает и не может хватать квалифицированных работников" /64/.
Понятие "граф" очень емко и связано со многими основными понятиями, в частности, и школьной математики. О степени общности этого понятия свидетельствует уже то, что оно включает понятие "бинарное отношение", которое, в свою очередь, охватывает столь обще понятия, как отношения родства, тождества, конгруэнтности, равновеликости, подобия, параллельности, перпендикулярности, делимости и др. Как вид отношения может рассматриваться и такое важное понятие школьной математики, как фуннщя (или преобразование). А любое бинарное отношение на множестве JA может быть представлено в виде графа Г е множеством вершине так, что ориентированное ребро Д6 . Г тогда и только тогда, когда истинно соотношение /I RB .
Анализ ряда особенностей языка теории графов дал нам основание для выдвижения следующей гипотезы: включение элементов теории графов в школьный курс математики может быть осуществлено так, что позволит на доступном учащимся уровне углубить и обогатить его содержание без расширения объема.
Отдельные вопросы использования элементов теории графов в школьном обучении математике уже обсуждаются учеными в нашей стране. Проводится ряд исследований, связанных с проблемой введения бинарных отношений уже на начальных ступенях обучения математике (К.И.Пешков, А.М.Пышкало, В.Н.Рудницкая, М.М.Товенкова). Доступное дня учащихся введение бинарных отношений влечет за собой и применение рисунков графов, как средства их наглядного изображения, облегчающего первые опыты ребят в математическом мышлении.
Над проблемой исследования условий, возможностей и методики формирования понятия "отношение" у детей 6-8 лет с естественным вовлечением в этот процесс рисунков графов работает сектор начального обучения НИИ СМО АПН СОТ.
Вопросам использования графов при изучении функции, как вида бинарного отношения, посвящены работы Ф.М.Рафиковой и В.А.Байдака. В диссертациях Й.С.Беляевой и А.К.Ибраева обосновывается принципиальная возможность знакомства учащихся с элементами теории графов на фануяьтатившх и кружковых занятиях по комбинаторике и топологии.
Начиная с 1970 года, на внеклассные занятия школьников по математике элементы теории графов и ее приложений проникают в основном через научно-популярный физико-математический журнал "Квант", издаваемый АН СССР и АПН СССР.
Рисунки графов как средство наглядного изображения отношений использованы в школьных пособиях по математике во Франции, Бельгии, ФРГ, Югославии, Венгрии и других сгранах. В последнее время материалы по основам теории графов и ее приложениям нередко публикуются в научно-популярных журналах для школьников, издаваемых в Венгрии, Польше, ГДР, Югославии, Чехословакии, Рушнии, Англии, США, ФРГ.
Вместе с тем, в научно-педагогической литературе, прямо или косвенно связанной с проблемой введения элементов теории графов в общеобразовательную школу, не отражены исследования особенностей языка теории графов, обеспечивающие доступность его для учащихся и позволяющие использовать его нак средство методики обучения математике на всех ступенях обучения/ не вскрыты возможности использования графов как средства развития прикладной направленности среднего математического образования и средства углубления и обогащения содержания школьной математики. В научно-педагогической литературе не освещены возможности использования и изучения элементов теории графов и ее приложений при углубленном изучении математики,а также вопросы использования языка графов для укрепления межпредметных связей.
Проблема нашего диссертационного исследования заклкь чается в выявлении возможностей и определении путей использования языка графов для совершенствования среднего математического образования.
Для решения проблемы диссертации были поставлены следующие задачи:
1. Обосновать целесообразность использования языка графов как методического средства обучения математике.
2. Определить возможности использования графов в целях углубления и обогащения содержания курса школьной математики.
3. Выявить возможности использования графов для развития прикладного направления среднего математического образования.
4. Определить возможные направления усиления взаимосвязей учебных дисциплин на основе использования языка графов.
5. Наметить пути внедрения графов в школьный курс математики.
6. Определить содержание и разработать методику факультативного обучения восьмиклассников по теме "Грф и их применений".
Решение первых четырех задач описано в первой паве диссертации. Во второй главе изложены решения последних двух задач, ход и результаты эксперимента. В заключении подведены итоги исследования и намечены перспективы дальнейшей работы.
При исследовании задач были проанализированы содержание новых программ по математике, программы факультативных курсов по математике, новые учебные пособия и учебники, отечественная и зарубежная математическая,методическая,психолого-педагогичеекая литература по теме исследования танже использованы первые результаты перехода школ на обучение по новым программам,яичный педагогический опыт автора, результаты экспериментального преподавания.
США 1 РОЛЬ И МЕСТО ГРАФОВ В ОБУЧЕНИИ МАТЕМАТИКЕ
Язык и методы теории графов, проникая во многие сферы человеческой деятельности, становятся неотъемлемой составной частью общей математической культуры. Понятие графа очень емко и связано со многими основными понятиями математики, к числу которых относятся и многие понятия школьной математини. Введение элементов теории графов в школу поможет получить педагогический эффект одновременно в нескольких направлениях, выявлению и анализу которых посвящена первая глава.
В первом параграфе мы выявляем и анализируем ряд особенностей языка теории графов, которые не только делают доступными и интересными для учащихся язык и основы этой теории, некоторые ее приложения, но и дают возможность использовать rpat&J как одно из эффективных методических средств в процессе обучения математике.
В последующих параграфах этой главы анализируются возможности использования языка графов как средства методики в целях обогащения и углубления содержания школьной математики, развития ее прикладной ориентации, развития межпредметных связей; намечаются пути введения графов в обучение математике, способствующие реализации выявленных возможностей
