Содержание к диссертации
Введение
Глава I, Парадигма построения факультативного курса «Элементы четырехмерной евклидовой геометрии Л 8
1. Идея многомерных пространств в современной науке 19
2, Краткий исторический очерк развития понятия многомерных пространств, обзор литературы и диссертационных работ 26
3. Психологические особенности восприятия идей четырехмерной геометрии 34
4. Принципы отбора содержания факультативного курса «Элементы четырехмерной евклидовой геометрии» 43'
Глава II. Содержание факультативного курса «Элементы четырехмерной евклидовой геометрии» 67
1. Теория параллельности в четырехмерном евклидовом пространстве 69
п.1 .Первоначальные понятия и аксиомы пространства Е4 70
п.2.Взаимное расположение прямых в четырехмерном пространстве Е4 76
п.3.Взаимное расположение двух пространств. Признак их параллельности 77
п.4.Параллельность прямой и пространства. Признак их параллельности 80
п.5.Взаимное расположение плоскости и пространства 82
п.6.Взаимное расположение прямой и плоскости. Признак сіфещиваюпщхся прямой и плоскости 84
п.7.Взаимное расположение двух плоскостей. Видыпараллельности плоскостей. Признак слабой параллельности плоскостей 85
п.8. Признак параллельности плоскости и пространства.Теоремы о сильной параллельности плоскостей 88
Задачи к главе (параграф 1) 92
2. Векторы и перпендикулярность в четырехмерном евклидовом пространстве 93
п.9. Понятие вектора. 94
п. 10. Линейная зависимость векторов 95
п. 11 .Перпендикулярность прямых, прямой и плоскости в четырехмерном пространстве 99
п. 12.Перпендикулярность прямой и пространства 101
п. 13.Перпендикулярность плоскостей в пространстве Е4 108
^ п,14Перпендшсулярность плоскости и пространства 111
п. 15,Перпендикулярность пространств 113
п. 16.Ортогональное проектирование в четырехмерном пространстве. Расстояние между фигурами 114
п. 17.Четырехмерный куб и четырехмерный симплекс 116
Задачи к главе II (параграф 2) 120
3. Организация и результаты экспериментальной работы 122 -
п. 18.Организация констатирующего эксперимента и его результаты 123
п. 19.Организация обучающего эксперимента и его результаты 126
Заключение 144
Библиография 146
Приложение 158
- Идея многомерных пространств в современной науке
- Краткий исторический очерк развития понятия многомерных пространств, обзор литературы и диссертационных работ
- Теория параллельности в четырехмерном евклидовом пространстве
Введение к работе
В настоящее время необычайно возросла роль математики в современной науке и технике. Будущим инженерам, экономистам, химикам, биологам, социологам, психологам необходима серьёзная математическая подготовка, которая давала бы возможность математическими методами исследовать широкий круг новых проблем, использовать теоретические достижения в практике.
В проекте Стандарта среднего математического образования подчёркивается, что «обучение математике в школе ставит своей целью обеспечение некоторого гарантированного уровня математической подготовки, отвечающего требованиям современного общества и открывающего каждому выпускнику школы возможность свободной самореализации и продуктивной деятельности в его последующей взрослой жизни. Изучение математики вносит значительный вклад в интеллектуальное развитие учащихся, формируя у них качества мышления, характерные для математической деятельности и необходимые человеку для полноценного функционирования в обществе. Изучение математики способствует становлению гуманитарной культуры человека, раскрывая представления о математике как форме описания и методе познания действительности, как части общечеловеческой культуры, о значимости математики для общественного прогресса» (115, с. 10).
Следовательно, становление и развитие творческой личности -является главной целью общего математического образования. Раскрытие творческих способностей человека и их воплощение в жизнь является благом и для общества и для человека.
Необходимо развивать познавательную активность учащихся, самостоятельность их логического и эвристического видов мышления, пробуждать жажду новых знаний, стремлений, формировать навыки самостоятельной учебной работы с тем, чтобы наше молодое поколение в течение всей трудовой жизни было на уровне достижений науки, техники и культуры.
Решать эти задачи в некоторой степени помогают и факультативные занятия, которые были введены в наших школах с 1966 года. Вот уже четвёртое десятилетие факультативы доказывают своё право на существование.
Факультативные занятия были организованы не только для углубления знаний учащихся, но и для развития их разносторонних интересов и способностей, сознательного отношения к учёбе, умения самостоятельно пополнять знания, ориентироваться в научной информации, знакомиться с важнейшими достижениями науки, то есть удовлетворять тем требованиям, которые ставит наше общество перед школой по вопросам гуманизации математического образования. J
За время существования факультативов миллионы учащихся углубили свои знания основ наук, развили свои способности и интересы, расширили свой кругозор, выбрали свой жизненный путь с учётом опыта изучения на факультативных занятиях тех или иных предметов.
Как известно, курс математики в учебном плане средней школы, а особенно в классах и школах с углубленным изучением математики, занимает значительное место, поэтому факультативные занятия по математшсе выделяются среди общей системы факультативов по числу учащихся, принимающих участие в их работе. В основе выбора учениками факультативного курса по математике, также как и по другим предметам, лежит интерес к ней и её приложениям, понимание необходимости овладения математическими знаниями, которые нужны для изучения смежных дисциплин и для продолжения образования.
Правда, в последнее время в некоторых школах факультативы пытаются превратить в репетиционные занятия по математике, на которых решаются задачи, предлагаемые на вступительных экзаменах в высших учебных заведениях. Конечно, программой фшсультативных занятий
I предусматривается проведение факультатива по математике по решению конкурсных задач, но, если ограничиться только таким видом этих занятий, то останется в стороне такая важная цель их, как расширение знаний учащихся за счёт изучения вопросов, не вошедших в обязательную программу по математике. «В обязательных программах должны даваться лишь основы, знание которых необходимо каждому современному образованному человеку. Более сложный, но не проверенный на доступность учебный материал следует изучать факультативно с б учащимися, проявляющими к нему повышенный интерес» (107, с. 15).
На протяжении этих тридцати с лишним лет велась большая работа по разработке программ факультативных курсов. Они постоянно изменялись и дополнялись в соответствии с требованиями современной школы. Как отмечается в (103, с. 2), «работа на факультативных занятиях по математике | & по всем основным направлениям (углубление основного курса, развитие интереса к математике, расширение кругозора и формирование мировоззрения, раскрытие прикладных аспектов математики, (профориентация) может и должна быть обеспечена не одной, а несколькими программами. Учитель может работать по любой из т опубликованных программ, а также но программе, составленной им самим».
Факультативные занятия по математике являются одним из средств гуманизации образования. Гуманистические принципы позволяют создать условия для развития способностей учащихся и их самореализации. Образование на современном этапе характеризуется усилением внимания к ученику. Учебный процесс строится так, чтобы знания, получаемые s учеником, имели бы для него личностный смысл, сам ученик был бы в центре процесса обучения. Полноценное образование человека возможно лишь в условиях гуманизации и гуманитаризации. «Гуманизация предполагает сформировать у учащихся личностно значимые для него знания и способы деятельности, а гуманитаризация образования -вооружить школьника основами творческой деятельности» (113, с. 26).
В российской образовательной системе сделано немало для реализации идей гуманизации математического образоваїїия. Это и профилезация средней школы, и открытие школ и классов с углубленным изучением предметов. Проведение факультативных занятий способствует дифференциации в обучении математике, цель которой состоит в развитии личности ученика с учётом его индивидуальных особенностей,
Разработанный нами факультативный курс «Элементы четырёхмерной евклидовой геометрии» позволяет углубить материал обязательного курса. Рассматривая с учащимися теоретические вопросы факультатива, учитель получает возможность придать большую законченность разделам школьной математики, показать их связь с математикой-наукой, показать перспективы этого курса и возможности развития его содержания.
Предлагаемый факультатив можно проводить полностью или частично в X и XI классах, используя часы, отведенные в программе на рассмотрение геометрического материала.
По словам А.Д.Александрова, «понятие n-мерного пространства действительно очень абстрактно, но оно тем не менее имеет вполне реальное содержание, понять которое не так уж трудно» (63, с. 6).
Немецкий математик Ганс Хан считает, что многомерную геометрию мололо изучать в школе также, как изучается в ней сейчас трехмерная геометрия.
Как известно, геометрия многомерных пространств играет важную роль как в самой математике, так и в механике, в теоретической физике, химии, в линейном программировании. Многомерное пространство и его геометрия стали одним из орудий математического исследования. Математическим аппаратом общей теории относительности служит одна из форм неевклидовой геометрии четырехмерного пространства. До самого конца XIX века в науке сохранялось убеждение в том, что мировое пространство в своей сущности таково, каким мы его воспринимаем посредством наших органов чувств. Самые характерные черты чувственно воспринимаемого пространства заключаются в том, что оно имеет три измерения и описывается геометрической теорией Евклида. Но если мировое пространство действительно таково, то размеры и формы тел должны быть неизменными, не зависящими от выбора системы отсчета. Г. Минковский понял, что «чувственно воспринимаемое пространство - это только внешняя видимость, форма проявления иных геометрических свойств реального мирового пространства... На самом деле мировое пространство лишь кажется трехмерным и евклидовым... Объективные линейные и метрические свойства мира, не зависящие от выбора координатной системы, мы находим в четырехмерном псевдоевклидовом пространстве» (112 с. 5, 215).
Ознакомление учащихся старших классов средних школ, гимназий или лицеев с основными понятиями многомерной геометрии естественно начать с евклидовой геометрии четырехмерного пространства.
Можно предложить три пути для знакомства с элементами многомерной геометрии: 1) аналитический, 2) векторный, 3) конструктивно-геометрический, использующий в максимальной степени пространственную интуицию и систему аксиом, обобщающую аксиоматику Гильберта или какую-нибудь другую аксиоматику. Мы останавливаемся на аксиоматике, предложенной А.Н.Колмогоровым, хотя в 90-х годах его учебники подверглись резкой критике, и попытка использования учебншсов геометрии под редакцией А.Н Колмогорова оказалась неудачной. Но мы полностью согласны с мнением Г.И.Сараицева, что «наиболее серьезная попытка подойти к проблеме отбора содержания обучения математике, отправляясь от структуры личности, закономерностей развития мышления, была предпринята А.Н.Колмогоровым при подготовке учебника геометрии, в основе которого заметны идеи Ж.Пиаже о структурах математического мышления и их соответствии топологической, алгебраической и порядковым структурам и идеи В.В.Давыдова о приоритетном развитии в обучении теоретическому мышлению» (113, с, 37).
Можно осуществить два основных подхода к построению курса геометрии в школе: 1) классический, в основу которого положены модернизированные «Начала» Евклида, 2) современный, фундаментом которого являются теоретико-множественные представления и идея геометрических преобразований. Второй подход был реализован в ходе реформы школьного математического образования 70-х годов. Была усилена роль аіссиоматического метода, предложена четкая и строгая система аксиом, усилена логическая составляющая курса геометрии. В качестве ведущей идеи были включены геометрические преобразования, в частности, перемещения плоскости. «Хочется обратить внимание на оригинальность аксиомы подвижности плоскости, являющейся столь сильным допущением в геометрии, что ею, по существу, постулировано существование всех видов перемещений плоскости» (25, с. 15). Векторы представлены как один из частных видов перемещений плоскости и пространства, при дальнейшем изложении курса широко использовался векторный аппарат как средство решения задач и доказательства теорем. Эти идеи были реализованы в учебниках геометрии для средней школы под редакцией академика А.Н.Колмогорова, по «идейному насыщению которых нет равных на сегодняшний день в мировой практике создания учебников геометрии» (113, с. 37).
Академик А.Д.Александров считает, что «задача преподавания геометрии - развить у учащихся три качества: пространственное воображение, практическое понимание и логическое мышление» (1, с. 56). Задачи, которые мы ставим, приступая к изучению факультативного курса «Элементы четырехмерной евклидовой геометрии», совпадают с задачами преподавания школьного курса геометрии.
Во-первых, возникают большие возможности для развития логического мышления учащихся. Научить школьников активно и самостоятельно мыслить, это значит выработать умение сознательно оперировать понятиями, сравнивать, выделять существенное, абстрагироваться от несущественных свойств предметов, правильно делать выводы и обобщения из наблюдений и фактов, учить учащихся убедительно доказывать истинность своих суждений и опровергать ложные умозаключения.
Во-вторых, развивается творческая активность учащихся, фантазия, интерес к математике, Воспитывать творческую активность подрастающего поколения - это значит возбуждать жажду к новым знаниям, приучать к умственным усилиям, способствовать развитию желания познать тайны окружающей действительности. При правильном руководстве творческой работой учащихся они учатся подмечать различные закономерности, взаимосвязи, аналогии, что в свою очередь усиливает интерес к изучаемому предмету. По словам известного математика и педагога Д.Пойа, «учащийся должен сам открывать такую часть изучаемого материала, какая только достижима при данных обстоятельствах» (94, с. 82).
Такие особенности, возникающие при изучении четырехмерной геометрии, как новизна, необычность, неожиданность, странность, несоответствие ранее изученному - все это не только вызывает мгновенный интерес, но и возбуждает желание изучить материал более глубоко, то есть содействует устойчивости интереса.
В-третьих, обогащаются пространственные представления учащихся и развивается пространственное воображение, которое характеризуется умением мыслить пространственными образами геометрических фигур, символами, умением воссоздать в воображении то, что не воспринимается человеком непосредственно, склонность к фантазии. «Восприятие пространства и пространственные представления являются одним из показателей уровня развития психической деятельности человека)) (25, с. 6).
В-четвертых, предоставляются широкие возможности для формирования у учащихся научного мировоззрения. Развитие математических понятий происходит в борьбе противоположных тенденций. Известные ранее понятия вступают в противоречие с новыми требованиями науки и практики, и оно разрешается путем расширения смысла понятий. Вопросы, связанные с популяризацией идей многомерной геометрии пробуждают у учащихся интерес к истории математики, к возникновению и развитию новых идей в науке.
В-пятых, как известно, факультативные занятия по математике посещают те учащиеся, которые интересуются математикой или её приложениями. Поэтому это позволяет в рамках факультативных занятий рассматривать понятия многомерной геометрии на достаточно высоком уровне преподавания.
Проблема исследования заключается в поиске путей совершенствования среднего математического образования посредством специальных факультативных курсов, отвечающих целям математического образования: углублению основного курса, способствующего продолжению образования в любой из форм непрерывного образования; формированию логического, эвристического и алгориметрического мышления, рассмотрению логической и эвристической составляющих математической деятельности в диалектическом единстве, развитию пространственных представлений учащихся, овладению культурой мышления и т.д.
Целыо нашего исследования являлась разработка содержания факультативного курса «Элементы четырехмерной евклидовой геометрии» и методики его изучения.
Объектом исследования явился процесс обучения геометрии в старших классах средней школы, а также в школах и классах с углубленным изучением математики.
Предметом исследования явилось содержание, методы, формы, средства изучения факультативного курса «Элементы четырехмерной евклидовой геометрии».
Гипотеза исследования: если разработать содержание факультатива, доступного учащимся старших классов средней школы и школ с углубленным изучением математики, ориентированного на развитие: 1) представления о пространстве; 2) представления о методе изучения математшси; 3) развития пространственного воображения; 4) приобретения навыков логического и эвристического мышления, то внедрение такого курса в процесс обучения учащихся средней школы повысит качество математической подготовки выпускников средней школы.
Разработка проблемы исследования потребовала решения следующих частных задач: разработать принципы отбора содержания факультативного курса; разработать содержание факультативного курса по изучению элементов четырехмерной евклидовой геометрии; исследовать психологические особенности восприятия идей четырехмерной евклидовой геометрии; разработать методику изложения этого факультатива; разработать средства внедрения факультативного курса в учебный процесс; определить содержание и объем самостоятельной работы учащихся в процессе овладения знаниями по геометрии четырехмерного пространства; провести апробацию разработанной методики обучения элементам четырёхмерной геометрии с учащимися старших классов.
Для решения поставленных выше задач мы использовали следующие методы исследования: в анализ научно-педагогической, методической, психологической и методической литературы, программ, учебников, учебных и методических пособий по теме и близких к теме исследования; беседы с учителями о состоянии преподавания факультативных курсов в юколе и о возможности проведения разработанного факультатива в старших классах средней школы; в выяснение знаний учащихся о четырехмерной геометрии и о желании посещать факультативные занятия, на которых они познакомятся с элементами многомерной геометрии; проведение констатирующего, поискового и обучающего экспериментов с учащимися старших классов; в обсуждение материалов исследования на научных конференциях и методических семинарах.
Исследование проводилось поэтапно.
На первом этапе осуществлялся анализ психолого-дидактической и методической литературы с целью выявления трактовок логического построения многомерной евклидовой геометрии, проводился констатирующий эксперимент.
На втором этапе было разработано содержание факультативного курса «Элемеыты четырехмерной евклидовой геометрии», разработана методика изложеїшя этого курса, разработана система задач, наглядных чертежей, контрольных заданий, определены содержание и формы самостоятельной работы учащихся в процессе овладения знаниями по геометрии четырехмерного пространства.
На третьем этапе проводился обучающий эксперимент с целью проверки эффективности разработанной методики.
Научная новизна исследования состоит в том, что развитие пространственных представлений, логического и эвристического мышления учащихся осуществляется на принципиально новой основе - посредством факультативного курса «Элементы четырехмерной евклидовой геометрии»,
Теоретическая значимость исследования заключается в разработке концепции конструирования факультативных курсов адекватных современным целям математического образования, направленных на целостное формирование личности.
Практическая значимость результатов исследования состоит в возможности использования разработанной методики изложения факультативного курса учителями математики в средней школе и в школах, и іслассах с углубленным изучением математики, а таїоке спецкурсов и спецсеминаров для студентов педагогических институтов и университетов.
Разработанные содержание и методика изучения факультатива «Элементы четырехмерной евклидовой геометрии» могут быть использованы учителями школ при проведении факультативных занятий по разработанной тематике, а таїоке преподавателями педагогических институтов и университетов при подготовке студентов к проведению факультативных занятий в школе.
На защиту выносятся следующие положения:
Изучение факультативного курса «Элементы четырехмерной евклидовой геометрии» позволяет совершенствовать процесс обучения математике в старших классах средней школы, способствует развитию личности и ее творческих способностей.
Содержание факультативного курса, ориентированного на ознакомление учащихся с элементами геометрии четырехмерного пространства обусловлено принципами; е принципом достаточности или соответствия целям обучения; принципом целостности; принципом преемственности; принципом непрерывности; в принципом интеллектуального развития; в принципом познавательности; диагностико-прогностическим принципом; в принципом перспективности; « принципом общекультурной ценности отбираемых компонентов содержания.
3, Изучение факультативного курса способствует систематизации геометрических знаний, их обобщению, развитию геометрического мышления (нахождению аналогий, выдвижению гипотез, высказыванию обобщений и т.д.), развивает мотивацию учебной деятельности.
4. Практическая реализация результатов исследования требует специальной подготовки будущих учителей математики.
Обоснованность и достоверность проведенного исследования, его результатов и выводов обусловлены опорой на теорию развития личности, психологию развития мышления, новые образовательные идеи, деятельностный подход в обучении теории формирования математических понятий, роли задач в обучении математике, а также итогами проведения эксперимента.
Апробация результатов проводилась в виде докладов и выступлений на заседаниях научно-методического семинара кафедры общей математики Кубанского госуниверситета (1989 - 1998 гг.), на научно-методической конференции преподавателей математических кафедр (Киров, 1990 г.), на межрегиональной научной конференции (Киров, 1998 г.), на Всероссийской научной конференции (Саранск, 1998 г.). По теме исследования имеется 7 публикаций.
Внедрение разработанных методических рекомендаций осуществлялось в ходе экспериментальной проверки в процессе преподавания геометрии в средней школе, в математической школе, на спецкурсах и в период педагогической практики со студентами университета. В эксперименте участвовали учителя школ городов Новороссийска и Краснодара.
Структура диссертаций. Диссертация состоит из введения, двух глав, заключения, списка литературы и приложения. Во введении обоснована актуальность исследования, определена проблема научного поиска, намечены задачи теоретического и экспериментального характера, раскрыта новизна, теоретическая и практическая значимость работы, сформулированы предложения, выносимые на защиту, перечислены этапы и методы исследования. $ В первой главе «Парадигма построения факультативного курса «Элементы четырехмерной евклидовой геометрии» на основе анализа педагогической, психологической, учебно-методической литературы рассматриваются идеи многомерных пространств в современной науке, психологические особенности восприятия идей четырехмерной геометрии, принципы отбора содержания этого факультатива.
Во второй главе «Содержание факультативного курса «Элементы четырехмерной евклидовой геометрии» построение геометрии четырехмерного пространства дается с использованием системы аксиом А.Н.Колмогорова. Познавательная ценность такого изучения факультатива состоит в том, что учащиеся имеют возможность еще раз просмотреть ,ф аксиоматическое построение теории, разобраться в сущности аксиоматического метода и проследить его эвристическую функцию.
Содержание факультативного курса включает теорию параллельности и перпендикулярности в четырехмерном пространстве.
В параграфе «Организация и результаты экспериментальной работы» описывается констатирующий эксперимент и его результаты, а также обучающий эксперимент.
В заключении подводятся итоги проведенного исследования. Результаты, полученные в ходе эксперимента, излагаются в единстве с выводами, сделанными в теоретическом исследовании.
Приложение включает в себя изложение теории перемещений в четырёхмерном пространстве на основе композиции симметрии относительно двух и трёх пространств.
Идея многомерных пространств в современной науке
Многомерные пространства издавна привлекали к себе внимание ученых: математиков, физиков, химиков, психологов, философов. Это объясняется тем, что геометрия многомерных пространств находит широкое применение не только в самой математике, но и во многих естественных науках.
Вопрос о приложении математики в различных сферах человеческой деятельности имеет первостепенное значение для преподавания математики и в процессе урока, и во внеурочное время, к которому относится и время проведения факультативных занятий. Нельзя плодотворно изучать математику, отрывая теорию от ее практических приложений. Постоянная, органическая связь теории с практикой в преподавании математики обеспечивает такое усвоение учащимися рассматриваемого материала, при котором теория становится для них путеводной нитью в решении практических задач, возбуждает интерес к изучению математики, повышает творческую активность. Связь теории с практикой в преподавании математики является лучшим средством предупреждения формализма знаний учащихся по математическим дисциплинам.
В геометрии новые идеи рождаются и развиваются под влиянием требований, которые предъявляют к ней другие науки и практика людей. В процессе развития таких наук, как механика, астрономия, физика, техника, установилось сотрудничество между ними и математикой. Однако новые научные идеи рождаются и развиваются и из внутренней логики самой науки, в виде обобщений других, уже известных идей.
Идея четвертого измерения и многомерных пространств есть тому пример. Математика полнее, точнее, глубже разрабатывала свои методы, которые находили применение в других науках. С другой стороны, их развитие формулировало новые задачи, решение которых стимулировало движение математики вперед. Как отмечает Л.Д.Кудрявцев: «Расширение использования и приложения математических методов, в которых нуждаются многие области науки и техники, немыслимо без развития самой математики, и наше время красноречиво подтверждает это: ныне, как никогда, мы являемся свидетелями бурного роста самой математики, так и роста применений математических методов в других науках. Математика всегда играла и продолжает играть огромную, все увеличивающуюся роль в естествознании, а теперь и в гуманитарных и социальных науках» (60, с. 32). Беседуя с учащимися о применении многомерных пространств в современной науке, необходимо сделать акцент на том, что математика изучает математические модели, а эти модели могут являться моделями реальных физических, химических, биологических, экономических явлений, то есть математика дает возможность изучать процессы, протекающие в окружающей нас действительности.
В последнее время понятия многомерной геометрии широко применяются для решения экономических, инженерных и психологических задач. Графический аппарат многомерных.пространств помогает решать многие задачи физико-химического анализа, идеи многомерной геометрии используются в линейном программировании. Основываясь на понятии мозга, как системы нейронов, расположенных в узлах четырехмерной пространственно-временной решетки, ученым удалось решить ряд проблем теории мышления. Попытки представить себе наглядно четвертое измерение заставляют нас напрягать наше пространственное воображение, и тем самым четырехмерная геометрия привлекает к себе внимание психологов. Ученые философы используют понятия многомерных пространств в теории познания; они ими оперируют, развивая научное мировоззрение, воссоздавая научную картину мира.
Краткий исторический очерк развития понятия многомерных пространств, обзор литературы и диссертационных работ
Идея о возможности обобщения понятия количества измерений с трех на четыре и больше появилась в математике очень рано.
Если сослаться на математическую энциклопедию, то «исторически представление о более чем трехмерном пространстве зарождалось постепенно, первоначально на почве геометрического представления степеней: а2 - «квадрат», а3 - «куб», но а4 и т.д. уже не имеет наглядного представления, и говорили а4 - «биквадрат», а5 - «кубоквадрат» и т.д.» (70, с. 729).
Впервые понятие пространства четырех измерений ввел в науку французский ученый Ж.Л.Лагранж. В 1788 году в своей «Аналитической механике» он к трем пространственным декартовым координатам материальной точки х, у, z добавил четвертую координату - время і. Все эти четыре переменные рассматривались им как четыре координаты точки четырехмерного пространства.
О присоединении к пространству времени в качестве четвертой координаты писал Ж.Д. Аламбер в 1764 году.
К концу XVIII века идея четвертого измерения еще не получила должного развития. И только в сороковых годах XIX века понятие многомерного пространства появляется во многих работах математиков различных стран. Идеи геометрии многих измерений получают развитие в таких работах как «Барицентрическое исчисление» немецкого геометра Мебиуса, «О преобразовании двух однородных функций второго порядка» немецкого математика Якоби, почетного члена Петербургской АН, «Главы аналитической геометрии «-измерений» английского математика КеЙли. Первым трудом, посвященным многомерной геометрии, был труд немецкого математика, преподавателя гимназии в городе Штеттине, Германа Грассмана «Учение о протяженных величинах», вышедший в свет в 1844 году. Учение о протяженности является теорией многомерного линейного пространства. Грассман в «-мерном евклидовом пространстве рассматривал его аффинные, а затем метрические свойства, вводил величины в я-мерном пространстве и строил их исчисление. Он заложил основы теории взаимного расположения плоскостей различных размерностей в /7-мерном пространстве. Однако, свою теорию протяженности Грассман излагал совершенно абстрактно, использовав необычную терминологию, что сделало ее малодоступной. Но, несмотря на это, его работа о многомерном пространстве способствовала развитию векторного и тензорного исчислений.
В эти годы внимание многих ученых-математиков было обращено к многомерной геометрии. Швейцарский математик Л.Шлефли написал «Теорию многократной непрерывности», в которой изложил теорию многомерных правильных многогранников, классификация которых независимо от него была дана американским математиком Стрингхемом и немецким математиком Гоппе.
В 1854 году немецкий ученый-математик Б.Риман выступил с диссертационной речью «О гипотезах, лежащих в основании геометрии», которая была опубликована лишь после его смерти в 1867 году. Он рассматривал геометрию как учение о непрерывных многообразиях я-го порядка. Одной из заслуг Римана является то, что он продвинул вперед разработку математического учения о пространстве. Риман ввел общее понятие о пространстве как о непрерывной совокупности любого рода однотипных объектов, которые служат точками этого пространства, и дал общее понятие о метрике, определив расстояние между бесконечно близкими точками. Метрические свойства трехмерного пространства Римана «в малом» совпадают с метрическими свойствами трехмерной сферы четырехмерного евклидова пространства. Таким образом, он впервые изучил нелинейное «-мерное пространство общего вида и наметил возможные связи римановой геометрии со свойствами реального пространства. Спустя полвека великим физиком А.Эйнштейном идеи Б.Римана о практическом использовании многомерных пространств были применены в общей теории относительности.
Теория параллельности в четырехмерном евклидовом пространстве
Приведем программу факультативного курса:
1. Первоначальные понятия и аксиомы четырехмерной геометрии. Следствия из аксиом принадлежности.
2. Взаимное расположение двух прямых и двух пространств.
3. Взаимное расположение плоскости и пространства.
4. Понятие параллельных и пересекающихся прямой и пространства. Признак параллельности прямой и пространства.
5. Взаимное расположение двух пространств. Признак скрещивающихся прямой и пространства,
6. Понятие сильной и слабой параллельности плоскостей в четырехмерном евклидовом пространстве. Признак слабой параллельности плоскостей.
7. Вектор. Линейная независимость векторов.
8. Перпендикулярность прямых, прямой и плоскости в Е4.
9. Перпендикулярность прямой и пространства.
10. Перпендикулярность плоскостей в пространстве Е4.
11. Перпендикулярность плоскости и пространства.
12. Перпендикулярность пространств.
13. Ортогональное проектирование в пространстве Е4, Расстояние между фигурами.
14. Четырехмерный куб и четырехмерный симплекс.
п.1. Первоначальные понятия и аксиомы пространства Е4.
В качестве основных, первоначальных понятий геометрии четырехмерного пространства Е4 выберем точку, прямую, плоскость, трехмерное пространство и расстояние. Первые четыре из них еще называют соответственно нульмерным, одномерным;, двухмерным и трехмерным пространствами.
Точки будем обозначать большими буквами латинского алфавита: А, В, С, ... ; прямые - малыми буквами латинского алфавита; а, Ь, с, ...; плоскости-малыми буквами греческого алфавита: я, Д у, ...; а пространства трех измерений - большими буквами греческого алфавита Е, Q, 8.
Сформулируем теперь аксиомы четырехмерного пространства, в которых выражаются основные свойства первоначальных понятий.
Приведем список аксиом евклидова пространства Ед. I. Аксиомы принадлежности.
11. Нуль-, одно-, двух-, трехмерные пространства - это непустые подмножества четырехмерного пространства, не совпадающие с ним.
12. Существует хотя бы одна точка.
13. Через две различные точки четырехмерного пространства проходит одна и только одна прямая.
14. Через три точки, не принадлежащие одной прямой, проходит одна и только одна плоскость.
15. Через четыре точки, не принадлежащие одной плоскости, проходит
одно и только одно трехмерное пространство.
16. Прямая, проходящая через любые две точки плоскости, лежит в
одной плоскости.
Ь- Плоскость, проходящая через три точки трехмерного пространства, не принадлежащие одной прямой, лежит в этом пространстве.
Is. Если две различные плоскости трехмерного пространства имеют общую точку, то их пересечение есть прямая.
І9. Если два различных трехмерных пространства имеют общую точку, то их пересечение есть плоскость.
