Введение к работе
Актуальность темы. Развитие высокоэффективных итерационных етодов решения систем линейных алгебраических уравнений, возникаю-;их в результате аппроксимации эллиптических уравнений конечно-азностными и конечно-элементными методами, остаётся одной из наибо-ее важных задач вычислительной математики. Особенно это относится к здачам в трёхмерных областях, при практическом решении которых воз-икают системы линейных алгебраических уравнений с сотнями тысяч и аже миллионами неизвестных. Среди множества проблем, возникающих ри построении итерационных методов, не последнюю роль играют такие, ак зависимость вычислительных затрат для получения решения с задан-ой точностью от числа неизвестных, от поведения коэффициентов диффе-энциальной задачи, от структуры области, граничных условий, от сет-и, на которой производилась аппроксимация задачи. Также, в связи с :ё более расширяющимся применением многопроцессорных компьютеров, ри построении итерационных методов необходимо учитывать эффектив-ость их реализации на вычислительных системах с различными типами рхитектуры. С теоретической точки зрения одними из наиболее эффек-явных среди итерационных методов являются многосеточные методы. Од-эй из самых важных проблем в теории многосеточных методов является эказательство их сходимости и получение оценок скорости сходимости.
диссертации рассматриваются способы построения многосеточных пере-эуславливателей и доказательства сходимости многосеточных методов, не шрающиеся на какие-либо предположения о регулярности задачи и прово-имые исключительно в алгебраических рамках. Такие методы называют-1 алгебраическими многосеточными методами. В последние годы большую звестность приобрели методы, типа ВРХ, основанные на многоуровневом азбиении пространства функций, ассоциированного с иерархической сет-эй, на которой производится аппроксимация задачи. Недавно было доказа-э, что скорость сходимости любого многосеточного метода такого типа ожет зависеть либо от регулярности решения, либо от размерности алге-эаической задачи. Этого недостатка лишены алгебраические многосеточ-ые методы, которые строятся исходя из совсем иных принципов. Большой эдостаток многосеточных методов заключается в том, что они неэффек-двно реализуются на многопроцессорных вычислительных системах. По-вдимому, так называемые усиленные алгебраические многосеточные мето-ы, рассмотренные в диссертации, дают подход к решению этой проблемы.
связи со сказанным выше, исследование и построение новых алгебраи-еских многосеточных методов является актуальной задачей, открываю-;ей большие перспективы, в первую очередь для решения эллиптических вдач, обладающих недостаточно гладким решением и для решения задач а параллельных компьютерах. І^ель работы.
Построение алгебраических многосеточных методов, предназначенных пя решения эллиптических задач в трёхмерных областях, на параллель-ых ЭВМ. Построение многосеточных методов для решения задач, аппроксимирован-
-2-ных на составных сетках и на неструктурированных регулярных сетках.
3. Численное исследование алгебраических многосеточных методов на примере некоторых модельных задач вычислительной гидродинамики. Общая методика исследований. В диссертации использованы результаты и методы матричного анализа, итерационных методов, элементы функционального анализа.
Научная новизна. Предложены и исследованы новые алгебраические многосеточные методы, скорость сходимости которых не зависит ни от параметра дискретизации, ни от регулярности исходной дифференциальной задачи предназначенные, в первую очередь, для решения задач на параллельных ЭВМ,
Практическая значимость. Разработаны комплексы программ, реализующих различные варианты алгебраических многосеточных методов, в том числе и на параллельных компьютерах. Эти программы были использованы для решения некоторых задач вычислительной гидродинамики. Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались на следующих конференциях и семинарах:
на семинарах лаборатории вычислительной математики ИВМ РАН, семинарах в университете г. Юваскюла (Финляндия), в университете г. Аугс-бурга (Германия), в университете г. Штуттгарта (Германия) и на семинаре в GMD (г. Санкт-Августин, Германия);
3-м международном симпозиуме по численному анализу (г. Москва, 1992);
1-м Российско-Финском симпозиуме по численному анализу (г. Юваскюла. Финляндия, 1992);
совместной Российско-Голландской рабочей встрече по прикладной математике (г. Москва, 1993);
10-м Франко-Российско-Итальянском совместном симпозиуме по вычислительной математике и приложениям (г. Москва, 1993);
совместном Франко-Российском семинаре по вычислительной математике (г. Москва, 1994);
4-ой международной конференции по численному анализу (Москва, 1995):
конференции по анализу, вычислениям и приложениям дифференциаль ных и интегральных уравнений (г. Штуттгарт, Германия, 1996). Публикации. По теме диссертации опубликовано девять работ, список которых приведён в конце автореферата.
Структура диссертации. Диссертация состоит из введения, четырёх глав приложения и списка литературы объёмом 104 наименования. Общий объё> работы 119 страниц.
