О полной наблюдаемости нестационарных динамических систем Фам Туан Кыонг

Введение к работе

Актуальность темы. Рассматривается система

Математическую постановку задачи полной наблюдаемости динамической системы (1), (2) с f (t) = 0 относят ко второй половине прошлого века и связывают с именем Р. Калмана. Им же был сформулирован, ставший классическим, критерий полной наблюдаемости, согласно которому система (1), (2) является полностью наблюдаемой тогда и только тогда, когда для матрицы A*, сопряженной к матрице A, выполняется условие:

ранг матрицы наблюдаемости (B Л*Б ... (A*)^n—1B) совпадает с размерностью n исходного пространства.

Свойства наблюдаемости различных систем (с запаздыванием, с малым параметром, систем с переменными коэффициентами, нелинейных систем, систем с частными производными, дискретных систем и т. д.) анализировались в многочисленных монографиях, обзорах, статьях, где отражена и история вопроса: Андреев Ю.А., Асмыкович И.К., Бояринцев Ю.Е., Васильев Ф.П., Габасов Р.Ф., Марченко В.М., Кириллова Ф.М., Д'Анжело Г., Квакернаак Х., Копейкина Т.Б., Красовский Н.Н., Ли Э.Б., Попов В.М., Цехан О.Б., Щеглова А.А., Cobb J.D., Campbell S.L., Hou M., Ishihara J.Y., Jacob B., Koumboulis F.N., Paraskevopoulos P.N., Uetake Y., Yip E.L., Sincovec R.F.

Для линейных стационарных систем наблюдения рассматривался, как правило, случай m = n и регулярного матричного пучка B — XI (матричный пучок B — XI называется регулярным, если существует обратная матрица (Б — XI)^—1 для некоторого X Є C).

Для линейной нестационарной системы вида

^dXt- = A(t)x(t), (3)

F (t) = B (t)x(t) (4)

сформулирован ряд критериев и условий полной наблюдаемости.

Например: система, описываемая уравнениями (3), (4) полностью наблюдаема на интервале [to,t₁] тогда и только тогда, когда столбцы матрицы B(t)X(t,t₀) линейно независимы на интервале [t₀^t₁] ( Г. Д'Анджело).

(X(t,t₀) — матрица Коши (переходная матрица) системы —= A(t)x(t),

Наряду с вопросом о полной наблюдаемости весьма актуальной является задача построения функций состояния рассматриваемых систем. Однако, лишь в отдельных работах строятся функции состояния, например, в монографии С.А. Красновой, В.А. Уткина, или определяются отдельные компоненты функции состояния в частных случаях, например, в работах Campbell S.L.

Теория и методы построения функций состояния для широкого класса полностью наблюдаемых динамических систем разработаны недостаточно глубоко и полно. Настоящая работа посвящена восполнению этих пробелов.

В работах Зубовой С.П., Раецкой Е.В. разработан метод каскадного расщепления пространств на подпространства, в результате чего на каждом этапе расщепления исходная система сводится к системе относительно неизвестной, принадлежащей более узкому подпространству'

Алгоритм применения данного метода предполагает, в случае выявления полной наблюдаемости системы, предъявление формулы для построения функции состояния исследуемой системы' Выявление характера связей между входной и выходной функциями исследуемой системы, необходимо реализующихся в случае полной наблюдаемости системы, также не требует дополнительных исследований, а осуществляется естественным путем, в ходе реализации метода каскадного расщепления.

В монографии Красновой С.А., Уткина В.А. при построении функции состояния стационарной системы наблюдения используется сходная схема перехода к системам в подпространствах, однако, для ее реализации авторы прибегают к достаточно громоздким матричным преобразованиям, что сопряжено со значительными временными затратами и достаточно объемными вычислениями.

Цель работы.

1. Исследование полной наблюдаемости линейной нестационарной динамической системы:

2. Исследование полной наблюдаемости линейной нестационарной динамической системы:

^dXdtl = A(t)x(t) + G(t; x(t); ^) + f (і), (7)

F (t) = B (t)x(t) (8)

с нелинейным слагаемым G(t; x(t); ('^). Рассматривается случай прямоугольной матрицы B (t), что исключает использование свойств регулярности матричного пучка B — XI при каждом фиксированном t Є [0, T].

3. Анализ влияния малых возмущений на полную наблюдаемость нестационарной динамической системы, а именно, исследование полной наблюдаемости возмущенной линейной системы:

dx(t, є)

= A(t^)x(t^) + f (t, є), (9)

F (t,e) = B (t,e)x(t,e). (10)

4. Анализ влияния малых возмущений на полную наблюдаемость нелинейной нестационарной динамической системы:

^d^dA = A(t, s)x(t, є) + G(t, є; x(t, є); ^dxM) + f(t, є), (11)

F(t, є) = B(t, є)х(Ь, є), (12)

с коэффициентами, аналитически зависящими от малого параметра є Є (0, єо].

5. Сравнение полной наблюдаемости невозмущенной и возмущенной линейных нестационарных систем, а также невозмущенной и возмущенной нелинейных нестационарных систем.

6. Построение функций состояния для полностью наблюдаемых линейной и нелинейной нестационарных динамических систем, а также систем, возмущенных при помощи малого параметра.

7. Установление соотношений, которым необходимо удовлетворяют наблюдаемые входная и выходная функции наблюдаемых нестационарных систем.

Методы исследования. Основным методом, применяемым в данной работе для исследования полной наблюдаемости нестационарных динамических систем, является метод каскадного расщепления уравнений на уравнения в подпространствах. Также используются общие методы анализа, качественной теории обыкновенных дифференциальных уравнений, элементы теории матриц.

Научная новизна. Все результаты являются новыми. В числе наиболее важных следует отметить следующие результаты:

7. 1. Установлены необходимые и достаточные условия полной наблюдаемости определённых выше динамических систем.

   2. Для полностью наблюдаемых линейной и нелинейной нестационарных систем выведены формулы для построения состояний систем x(t).

   3. Установлены соотношения "входа-выхода", то есть условия, которым необходимо удовлетворяют функции входа f (t) и выхода F(t) полностью наблюдаемых линейной и нелинейной нестационарных систем.

   4. Произведен анализ влияния малых возмущений є Є (0,є₀] на полную наблюдаемость линейной и нелинейной нестационарных систем.

   5. Сформулированы условия, при выполнении которых возмущенные системы являются полностью наблюдаемыми.

   6. Построены функции состояния х(Ь,є) полностью наблюдаемых возмущенных линейной и нелинейной нестационарных систем.

   7. Сформулированы условия "входа-выхода" для полностью наблюдаемых возмущенных систем.

   8. Доказано, что из полной наблюдаемости предельных (є = 0) систем следует полная наблюдаемость возмущенных систем.

   Теоретическая и практическая значимость работы. Работа носит теоретический характер. Полученные в ней результаты могут быть использованы в различных прикладных задачах, а также в задачах межотраслевой динамики, которые в ряде случаев можно формализовать как задачи наблюдения для линейных (5), (6) и нелинейных (7), (8) нестационарных динамических систем, а также возмущенных линейных (9), (10) и нелинейных (11), (12) систем.

   Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались и обсуждались на следующих конференциях: Воронежская весенняя математическая школа "Понтрягинские чтения"(Воронеж, 2010, 2011, 2012); Воронежская зимняя математическая школа "Современные методы теории функций и смежные пробле- мы"(Воронеж, 2011); Воронежская зимняя математическая школа С.Г. Крейна (Воронеж, 2012); Международная конференция по дифференциальным уравнениям и динамическим системам (Суздаль, 2010); Международная научная конференция "Современные физико-математические и информационные методы в естествознании, технике и гуманитарных науках"(Тамбов, 2010); IV Международная научная конференция "Современные проблемы прикладной математики, теории управления и математического моделирования"(ПМТУММ - 2011) (Воронеж, 2011); Международная конференция по математической теории управления и механике (Суздаль, 2011); The 8-th Congress of the International Society for AnaLysis, its Applications, and Computation (Moscow 2011).

   Публикации. Результаты, изложенные в диссертации, опубликованы в работах [1]—[16]. Из совместных публикаций [1], [2], [5] - [8], [12], [14] в диссертацию вошли только полученные автором результаты. Работы [1]—[5] опубликованы в изданиях, соответствующих списку ВАК России.

   Структура диссертации. Диссертация состоит из введения, двух глав и списка цитируемой литературы из 65 наименований. Общий объем диссертации 145 страниц.

   Похожие диссертации на О полной наблюдаемости нестационарных динамических систем

   

   Условия существования ненулевых периодических решений систем обыкновенных дифференциальных уравнений, матрица системы линейного приближения которых имеет нулевые собственные числа Ивличев Павел Сергеевич

   

   Метод двумерных систем сравнения в качественной теории конкретных динамических систем Белых Владимир Николаевич

   

   ОЦЕНКИ РЕШЕНИЙ СИСТЕМ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ НЕЙТРАЛЬНОГО ТИПАСкворцова Мария Александровна

   

   УПРАВЛЯЕМОСТЬ И УСТОЙЧИВОСТЬ СИСТЕМ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНО-АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙПетренко Павел Сергеевич

   

   О решениях системы Гурса-Дарбу с распределенным и граничным управлениямиПогодаев Николай Ильич

   

   ИМПУЛЬСНО-СКОЛЬЗЯЩИЕ РЕЖИМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ВКЛЮЧЕНИЙ С ПРИЛОЖЕНИЕМ К ДИНАМИКЕ МЕХАНИЧЕСКИХ СИСТЕМ С ТРЕНИЕМПономарев Денис Викторович

   Матричные фундаментальные оператор-функции вырожденных операторно-дифференциальных системКоробова Ольга Викторовна

   

   Алгебраические свойства интегрируемых гамильтоновых систем на алгебрах Ли Беляев Александр Владимирович

   

   Поведение решений вырождающихся эллиптических систем в окрестности многообразий вырождения Сергиенко Людмила Семеновна

   

   Конструктивные методы оптимизации линейных возмущенных систем Романюк Георгий Александрович