Введение к работе
^^йДктуальность работы» Широкое распространение идей и методов оптимизации в технике, управлении, экономике, а такие внутреннее развитие этой теории привело к появлению огромного количества исследований по этой тематике. К настоящему времени некоторые разделы теории оптимизации (например, линейное и выпуклое программирование, теория необходимых условия оптимальности, некоторые разделы классического вариационного исчисления) приобрели устойчивые очертания. Здесь выработана и сложилась терминология, разработан математический аппарат, накоплен богатый опыт решения прикладных задач. Другие разделы (например, теория достаточных условий оптимальности, теория корректности оптимизационных задач, методы численного построения решений задач бесконечномерной оптимизации) находятся в стадии развития и далеки от завершения. Разработанные здесь методы исследований зачастую направлены на исследование специальных классов оптимизационных задач и носят частный характер. Эти обстоятельства делают актуальной разработку таких новых методов исследования оптимизационных задач, которые была бы достаточно общими, эффективными и проотымн в приложениях.
Предлагаемые в диссертации деформационные методы исследования оптимизационных задач применимы к анализу широких классов задач оптимального управления, математического программирования, вариационного исчисления. Эти методы не связаны с повышенной гладкость» изучаемых функционалов и эффективны в вырожденных ситуациях. Они оказались эффективными и привели к новым результатам в задачах классического вариационного исчисления (анализ вырожденных экстремалей, связь теорем о существовании экстремалей 1-І
.-2-с признаками минимума интегральных функционалов) в ряде задач
математического анализа (доказательство новых неравенств, точные константы в неравенствах, анализ устойчивости решений дифференциальных уравнений) в задачах механики и математической физики (обоснование сходимости различных приближенных процедур построения решений, оценка числа решений, анализ корректности).
Цель работы. Целью работы является разработка методов анализа оптимизационных задач, основанных на исследовании деформационных инвариантов изучаемой задачи.
Методы исследования. В работе используются методы общей теории оптимального управления, методы нелинейного функционального анализа, топологические методы, методы теории обыкновенных дифференциальных уравнений и теории квазилинейных уравнений эллиптического типа.
Научная новизна. В диссертации впервые установлена инвариантность локальных минимумов при невырожденных деформациях функционалов качества общих оптимизационных задач. Этот принцип позволил установить неизвестную-ранее связь теорем о существовании экстремалей с признаками минимума интегральных функционалов. Он привел к новым теоремам о минимуме, к новым неравенствам, позволил обосновать сходимость ряда приближенных процедур построения решений оптимизационных задач.
Впервые установлена связь топологического индекса множества экстремалей нелинейного функционала с топологической структурой этого множества. Теорема, устанавливающая эту связь, приводит к новым необходимым и достаточным условиям оптимальности, к новым признакам сходимости различных численных процедур.
В работе впервые установлена связь между устойчивостью колебательных режимов в системах автоматического регулирования со оходимостьв процедур типа Галеркина или метода механических квадратур приближенного построения таких режимов; Установлены новые теоремы о сходимости градиентных методов в задачах бесконечномерной оптимизации. В частности, установлена сходимость метода наискорейшего спуска в задаче отыскания точек минимума функционалов вариационного исчисления в условиях, когда отсутствует информация о яевыролденности отыскиваемой точки минимума.
Теоретическая и практическая ценность. Методы, разработанные в диссертации, применимы"к анализу оптимизационных задач с функционалами качества общего вида, к ряду задач механики и математической физики. Результаты работы позволяют выделить широкие классы оптимизационных задач, для решения которых применимы различные приближенные методы (метод Галеркина, метод механических квадратур, градиентные методы), а также позволяют обосновать применимость комбинаций различных приближенных процедур численного решения оптимизационных задач. Разработанные в диссертации приемы анализа оптимизационных задач эффективны и просто реализуются в приложениях.
Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на Всесоюзных совещаниях по проблемам управления (Таллин, 1980 г., Ереван, 1983 г.), на совместных заседаниях Московского математического общества и семинара им.і акад. И.Г.Петровского (Москва, МГУ, 1987, 1982, 1984 гт.-), на Ш Симпозиуме по методам решения нелинейных уравнений и задач оптимизации (Таллин, 1984 г.), на конференции "Теоретические и прикладные вопросы математики" (Тарту, 1985 г.), на Московском семинаре по расширению возможностей 1-У
aвтo^зaтoв (1983, 1985, 1986 гг.), на семинарах Института проблем
управлення (автоматики в телемеханики), Московского государственного университета им. М.В.Ломопооова» Вычислительного центра All СССР, Всесоюзного научно-исследовательского института системных исследований, Института проблем механики, Московского института электронного машиностроения, Московского онерготического ииотвту-*та, Ленинградского отделения Математического института им, В.А. Стеклова, Института прикладной математики и механики АН УССР, Воронежского государственного университета им. Ленинского Комсомола
Публикации. Основные результаты диссертацшї опубликованы в 26 печатных работах.
Структура и объем работы. Диосертация состоит из введения, четырех глав и списка литературы; Диссертация изложена на 293 страницах. Библиография содержит 326 наименований.