Введение к работе
Актуальность темы : В диссертации рассматриваются задачи управления при наличии помех на управляемую систему, а также одна обратная задача теории дифференциальных включений. Задачи управления при наличии помех рассматриваются в рамках теории дифференциальных игр (д.и.).
Становление теории д.и. связано с именами отечественных и зарубежных математиков Н.Н. Красовского, Л.С. Понтрягина, Е.Ф. Мищенко, A.PL Субботина, Б.Н. Пшеничного, Р. Айзекса, В. Флеминга.
Остановимся кратко на основных результатах, к которым примыкает диссертационная работа.
Н.Н. Красовским и его сотрудниками развита концепция позиционной д.и.1'2, основу которой составляет принцип экстремального прицеливания на стабильные мосты. Для широкого круга д.и. доказана теорема об альтернативе . Обоснован метод детерминированных программных конструкций, дающий эффективное решение для регулярных задач теории позиционных д.и.1 и разработан метод стохастических программных конструкций для нерегулярных задач.3'4.
Важную ветвь теории д.и. составляют д.и. с интегральными огранпчениямп. Характер интегральных ограничений накладывает определенную специфику на динамику управляемой системы, что выражается, например, в существенном отличии динамики областей достижимости от динамики областей достижимости в случае геоме-
'Красовский Н.Н. Игровые задачи о встрече движений. М.: Наука.1971. 476с.
-Красовский II.Н., Субботин А.И. О структуре дифференциальных игр. // Докл. АН СССР. 1970. Т.190, N 3. с.523-526.
3Красовский Н.Н. Управление динамической системой. М.: Наука. 19S5. 517с.
Красовский Н.Н., Красовский А.Н., Третьяков В.Е. Стохастический программный синтез для детерминированной позиционной диффереицпальной игры // Прикл. математика и механика 1981.T.45,N 4. с.579-586.
трических ограничений на управления. Это обстоятельство может приводить к дополнительным трудностям при построении разрешающих стратегий.
Первые работы по теории д.и. с интегральными ограничениями появились в 60-х годах . Для линейных д.и.5 было впервые сформулировано позиционное правило экстремального прицеливания.
Параллельно с позиционным подходом к решению д.и. с интегральными ограничениями развивались методы, являющиеся аналогами методов, разработанных Л.С. Понтрягиным для решения д.и. с геометрическими ограничениями на управления игроков6,7. Построение разрешающих управлений согласно этим методам предполагает наличие информационной дискриминации одного из игроков другим.
В 70-80 годы были рассмотрены также некоторые классы нелинейных дифференциальных игр с интегральными ограничениями на управления игроков .
Теория дифференциальных включений, к сфере которой относится рассматриваемая здесь обратная задача, представляет собой новый раздел теории дифференциальных уравнений. Одним из основных стимулов к исследованию дифференциальных включений явились проблемы, возникающие в математической теории оптимального управления. Повышенный интерес к дифференциальным включениям обусловлен не только внутренней логикой исследований в этой области, но и появлением новых постановок прикладных задач, вызванных научно-техническим Прогрессом.
Тематика исследований по дифференциальным включениям
"Красовский Н.Н., Репин Ю.М., Третьяков В.Е. О некоторых ситуациях в теории управляемых систем // Изв. АН СССР. Техн. кибернетика. 1965, N 4.С.З-13.
'Никольский М.С. Прямой метод в линейных дифференциальных играх с интегральными ограничениями. // Дифференц.уравнения. 1972. Т.8, N 6 с.964-971."
'Мезенцев А.В. О задаче преследования с интегральными ограничениями на управления игроков // Вести. МГУ .Вычисл.математика и кибернетика. 1981, вып.1. с.57-60.
очень обширна . Здесь же мы выделим лишь то направление, которое близко к вопросу, рассматриваемому в диссертации. Мы имеем в виду направление исследовании по слабо!! и сильной ннварнаптностн множеств относительно дифференциального включения. Здесь отметим прежде всего работы А.Б. Куржаиского и его сотрудинкові9, а также А.А. Толстоногова10, Ж.П. Обэна. А. Челлины11, Ж. Хад-
дада 1\
Цель работы : 1) Исследование свойства стабильности в линейных дифференциальных играх с интегральными ограничениями:
2) Разработка методов приближенного построения множеств
позиционного поглощения в дифференциальных играх сближения;
3) Изучение одной обратной задачи теории дифференциальных
включений.
Метод решения. В работе систематически используются методы теории д.и., привлекаются понятия теории дифференциальных включений.
Научная новизна. Основные результаты являются новыми.
Теоретическая и практическая ценность. В работе изучено свойство стабильности в линейных д.и. с интегральными ограничениями, установлена эквивалентность различных форм определения стабильности. Приведен алгоритм приближенного построения множества позиционного поглощения. Приводятся достаточные
"Куржанский А.В. Об аналитическом описании множества выживающих траекторий дифференциальной системы. //Докл. АН СССР. 1967. Т. 175. X 4. с.764-766. 9Курасанскил А.Б., Филиппова Т.Ф. Об описании множества выживающих траектории дифференциального включения. //Докл. АН СССР. 19S6. T.2S9. N 1. с.38-41.
'"Толстоногое А.А. Дифференциальные включення в банаховом пространстве. Новосибирск: Наука, 1986. 296с.
"Aubin J.-P., Cellina A. Differential inclusions. Set valued maps and viability theory. Berlin, 1984. 342 p.
12Cornet В., Haddad G. Theorems de viabilite pour les inclusions differrntielles du second ordre. - Isr.J. of math., 1987, V.57, N 2. p.225-238.
условия разрешимости обратной задачи теории дифференциальных включений. Результаты диссертации имеют теоретическое и практическое значения. Алгоритм, изложенный во второй главе может быть применен для широкого круга задач теории д.и. и теории управления.
Апробация работы и публикации. По материалам диссертации сделаны сообщения на семинарах отдела динамических систем Института математики и механики УрО РАН и кафедры теории управления и оптимизации Челябинского государственного университета. По теме диссертации опубликовано 4 статьи.
Структура и обьем работы. Диссертация состоит из введения и трех глав. Список литературы включает 107 наименований. Объем работы составляет 116 страниц машинописного текста.
